Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n, 1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(n+2) #^=pangkat
Matematika
sopyfadilah
Pertanyaan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n, 1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(n+2)
#^=pangkat
#^=pangkat
1 Jawaban
-
1. Jawaban Brillianttt
Pembuktian Induksi matematika ada 3 langkah yaitu
1. Buktikan benar untuk n = 1
maka
1² = 1/6 . 1 (1+1)(1+2)
1 = 1/6 . 1 . 2 . 3
1 = 1
Jadi benar.
2. Asumsikan benar untuk n = k
1² + 2² + 3² + .. + k² = 1/6 k (k+1)(k+2) adalah benar
3. Buktikan benar untuk n = k+1
Maka
1²+2²+3²+...+k²+(k+1)² = 1/6 (k+1)(k+1+1)(k+1+2)
(1²+2²+3²+...+k²) +(k+1)² = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
--------------------------------------------------------------------------------
ingat asumsi 2 bahwa
1² + 2² + 3² + .. + k² = 1/6 k (k+1)(k+2)
----------------------------------------------------------------------------
1/6 k (k+1)(k+2) + (k+1)² = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
1/6 k (k+1)(k+2) + (k+1)(k+1) = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
(k+1)(1/6 k (k+2) + k+1) = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
(k+1) (1/6 k² + 2/6 k + 6/6 k + 1) = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
(k+1) (1/6 k² + 2/6 k + 6/6 k + 6/6) = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
1/6 (k+1)(k²+8k+6) = 1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
1/6 (k+1) (k²+8k+6) = 1/6 (k+1)(k²+5k+6) ==> salah
Karena langkah ketiga terbukti salah. Maka pernyataan bahwa 1²+2²+3²+..+n² = 1/6 n (n+1)(n+2) adalah salah.
Semoga membantu