Buktikan bahwa akar 3 adalah bilangan irasional

sesuai definisi bilangan rasional, maka v3 dapat kita nyatakan dalam bentuk p/q, dimana p dan q relatif prima (tidak mempunyai faktor yang sama) 

v3 = p/q 

kuadratkan persamaan maka kita dapatkan : 

3 = p^2 / q^2 
3 . q^2 = p^2 

artinya p^2 habis dibagi 3, yang berarti p juga habis dibagi 3 
karena p habis dibagi 3, maka ada bilangan bulat k sehingga p = 3k, maka dapat kita tulis 

3 . q^2 = (3k)^2 
3 . q^2 = 9k^2 
q^2 = 3k^2 

terlihat bahwa q^2 habis dibagi 3, yang berarti q juga habis dibagi 3 

dari langkah-langkah di atas, kita tahu bahwa p dan q habis dibagi 3, yang berarti mereka mempunyai sedikitnya 1 faktor yang sama yaitu 3. hal ini kontradiksi dengan asumsi kita bahwa p dan q relatif prima. 
maka pernyataan "akar 3 adalah bilangan irasional" terbukti