seorang pedagang menjual dua jenis es juice dalam termos yang paling banyak memuat 200 bungkus. harga juice durian Rp 10.000,00 dan juice alpokat Rp 5.000,00. m

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Seorang pedagang menjual dua jenis es juice dalam termos yang paling banyak memuat 200 bungkus. Harga juice durian Rp10.000,00 dan juice alpokat Rp5.000,00. Modal pedagang tersebut Rp1.200.000,00. Jika laba juice durian tersebut Rp1.100,00 dan juice alpokat Rp1.000,00, maka supaya laba maksimum banyaknya es juice yang harus dijual masing-masing adalah...

Jawab :

Persoalan di atas kita buat model matematikanya.
Pertama, kita buat tabelnya.

Misalkan es juice durian = x dan es juice alpokat = y

                                     Durian     Alpokat     Total

Jumlah (buah)             x               y                200

Harga (rupiah)             10.000     5.000        1.200.000
Laba (rupiah)               1.100         1.000             

Model matematika dari persoalan di atas adalah
x + y ≤ 200
10.000x + 5.000y ≤ 1.200.000

⇔ 2x + y ≤ 240

x ≥ 0
y ≥ 0
 
Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 1.100x + 1.000y
 
Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
x + y = 200 ... (1)
2x + y = 240 ... (2)
 
Kita eliminasi y, diperoleh
x + y = 200
2x + y = 240

__________-
⇔ -x = -40
⇔ x = 40

Nilai x = 40 kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
 x + y = 200
⇔ y = 200 - 40
⇔ y = 160
 
Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang disusbtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 1.100x + 1.000y sehingga
(120, 0) → f(x, y) = 1.100(120) + 1.000(0) = 132.000 + 0 = 120.000

(0, 200) → f(x, y) = 1.100(0) + 1.000(200) = 0 + 200.000 = 200.000
(40, 160) → f(x, y) = 1.100(40) + 1.000(160) = 44.000 + 160.000 = 204.000

Jadi, laba maksimumnya Rp204.000,00 dengan 40 buah es juice durian dan 160 buah es juice alpokat dan laba minimumnya Rp120.000,00 dengan 120 buah es juice durian dan 0 buah es juice alpokat.

Semangat!